微分方程简介
微分方程是描述函数及其导数之间关系的数学方程，在科学、工程、经济学等领域有广泛应用。常微分方程 (ODE) 是只包含一个自变量的微分方程。
对于复杂的微分方程，解析解可能不存在或难以求解，此时需要使用数值方法来近似求解。
数值方法概述
数值方法是通过迭代计算来近似求解微分方程的方法。常见的数值方法包括：
- Euler 方法 最基本的一阶数值方法，计算简单但精度较低。
- 改进 Euler 方法 对 Euler 方法的改进，通过预测-校正提高精度。
- Runge-Kutta 4 阶方法 高阶精度的数值方法，广泛应用于科学计算。
Euler 方法
Euler 方法是一种一阶数值方法，其基本思想是用切线近似代替曲线。对于微分方程 dy/dx = f(x, y)，初始条件为 y(x0) = y0，Euler 方法的迭代公式为：
y_{n+1} = y_n + h * f(x_n, y_n)
其中 h 是步长，x_n = x0 + n*h。
改进 Euler 方法
改进 Euler 方法是一种二阶数值方法，通过预测-校正提高精度。其迭代公式为：
y_{n+1} = y_n + h * [f(x_n, y_n) + f(x_{n+1}, y_n + h*f(x_n, y_n))] / 2
Runge-Kutta 4 阶方法
Runge-Kutta 4 阶方法是一种高阶数值方法，其迭代公式为：
k1 = f(x_n, y_n)
k2 = f(x_n + h/2, y_n + h*k1/2)
k3 = f(x_n + h/2, y_n + h*k2/2)
k4 = f(x_n + h, y_n + h*k3)
y_{n+1} = y_n + h*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)/6
这种方法具有较高的精度和稳定性，是科学计算中最常用的数值方法之一。
常见问题 (FAQ)
如何选择步长 h?
步长 h 越小，计算精度越高，但计算量也越大。通常需要在精度和计算效率之间进行权衡。
哪种数值方法精度最高?
Runge-Kutta 4 阶方法的精度最高，其次是改进 Euler 方法，Euler 方法的精度最低。