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微分方程求解器

支持多种数值解法的常微分方程求解工具,专为数据结构课程设计和教学实践而设计。

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微分方程简介

微分方程是描述自变量、未知函数及其导数之间关系的数学方程。在自然科学、工程技术和社会科学中,微分方程广泛用于建立各种动态系统的数学模型。

常微分方程 (ODE) 是指只包含一个自变量的微分方程。对于许多复杂的常微分方程,无法得到解析解,因此需要使用数值解法来近似求解。

数值解法概述

数值解法是通过计算机近似求解微分方程的方法。对于初值问题,常用的数值解法包括:

  1. 1. Euler法 一阶单步法,简单易实现,但精度较低。
  2. 2. 改进Euler法 二阶单步法,通过预测-校正提高精度。
  3. 3. Runge-Kutta法 多阶单步法,具有较高的精度和稳定性。

Euler法

Euler法是最基本的数值解法,基于泰勒级数展开的一阶近似。其迭代公式为:

yₙ₊₁ = yₙ + h × f(xₙ, yₙ)

其中h为步长,f(x,y)为微分方程的右端函数。

改进Euler法

改进Euler法通过预测-校正提高精度,属于二阶方法。其迭代公式为:

预测值:yₙ₊₁^p = yₙ + h × f(xₙ, yₙ) 校正值:yₙ₊₁ = yₙ + h/2 × [f(xₙ, yₙ) + f(xₙ₊₁, yₙ₊₁^p)]

Runge-Kutta法

Runge-Kutta法是一类高精度的数值解法,其中最常用的是四阶Runge-Kutta法。其迭代公式为:

k₁ = h × f(xₙ, yₙ) k₂ = h × f(xₙ + h/2, yₙ + k₁/2) k₃ = h × f(xₙ + h/2, yₙ + k₂/2) k₄ = h × f(xₙ + h, yₙ + k₃) yₙ₊₁ = yₙ + (k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)/6

四阶Runge-Kutta法具有更高的精度和稳定性,是工程和科学计算中最常用的数值解法之一。

常见问题 (FAQ)

如何输入微分方程?

请输入微分方程的右端函数f(x,y),例如:x + y,sin(x) * y,x^2 + y^2等。

步长h对结果有什么影响?

步长h越小,计算结果越精确,但计算量也越大。在实际应用中,需要根据精度要求和计算效率选择合适的步长。

哪种求解方法精度最高?

四阶Runge-Kutta法的精度最高,其次是改进Euler法,Euler法的精度最低。