特征值与特征向量简介
在数学和物理领域，特征值（Eigenvalue）和特征向量（Eigenvector）是线性代数中的核心概念。它们用于描述线性变换的本质特性，广泛应用于量子力学、信号处理、计算机图形学等多个领域。
简单来说，对于一个方阵A，如果存在一个非零向量v和一个标量λ，使得A*v = λ*v成立，那么λ称为A的特征值，v称为A的对应特征向量。
数学定义
设A是一个n×n的方阵，若存在一个非零向量v∈Rn和一个标量λ∈R（或复数域），满足：
A * v = λ * v
则称λ是矩阵A的一个特征值，v是矩阵A对应于特征值λ的一个特征向量。
特征值的计算通常通过求解特征方程来实现，特征方程定义为：
det(A - λI) = 0
其中det()表示行列式，I是n×n的单位矩阵。
计算方法
本工具支持2x2、3x3和4x4方阵的特征值计算。对于不同阶数的矩阵，计算方法略有不同：
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1. 2x2 矩阵
可通过解二次方程直接计算特征值，特征向量可通过代入法求解。
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2. 3x3 矩阵
需解三次方程，本工具采用数值方法进行求解。
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3. 4x4 矩阵
需解四次方程，本工具同样采用数值方法进行求解。
应用领域
特征值和特征向量在各个科学领域都有广泛的应用：
- ✓ 量子力学：用于描述粒子的状态和能量。
- ✓ 信号处理：用于主成分分析和数据降维。
- ✓ 计算机图形学：用于图像压缩和变换。
- ✓ 经济学：用于投入产出分析和增长模型。
常见问题 (FAQ)
什么是方阵？
方阵是行数和列数相等的矩阵，只有方阵才有特征值和特征向量。
特征值可以是复数吗？
是的，对于非实对称矩阵，特征值可能是复数。本工具暂时只支持实数特征值的计算。