什么是矩阵特征值?
矩阵特征值（Eigenvalue）是线性代数中的重要概念。对于一个 n 阶方阵 A，如果存在一个数 λ 和一个非零 n 维向量 v，使得 A v = λ v，则称 λ 是矩阵 A 的特征值，v 是对应的特征向量。
特征值和特征向量在数学和工程领域有着广泛的应用，它们能够揭示矩阵的内在结构和变换特性。
计算公式说明
计算矩阵特征值的核心是求解特征方程 det(A - λI) = 0，其中：
- det(·) 表示行列式运算
- A 是待求特征值的矩阵
- λ 是特征值
- I 是单位矩阵
2×2 矩阵特征值公式
A = [[a, b], [c, d]]
det(A - λI) = λ² - (a+d)λ + (ad - bc) = 0
λ₁,₂ = [(a+d) ± √((a+d)² - 4(ad - bc))]/2
3×3 矩阵特征值公式
A = [[a, b, c], [d, e, f], [g, h, i]]
det(A - λI) = -λ³ + (a+e+i)λ² - (ae + ai + ei - bf - dh - cg)λ + (aei + bfg + cdh - afh - bdi - ceg) = 0
求解三次方程得到三个特征值 λ₁, λ₂, λ₃
计算步骤
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1. 构建特征矩阵
将矩阵 A 减去 λ 乘以单位矩阵 I，得到特征矩阵 A - λI。
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2. 计算行列式
计算特征矩阵 A - λI 的行列式，得到关于 λ 的 n 次多项式方程。
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3. 求解特征方程
求解这个 n 次多项式方程，得到的根就是矩阵 A 的 n 个特征值。
应用领域
矩阵特征值在各个领域都有重要应用：
- ✓ 工程力学：用于结构振动分析和模态分析
- ✓ 计算机图形学：用于图像压缩和变换
- ✓ 数据分析：用于主成分分析（PCA）和降维
- ✓ 量子力学：用于描述量子系统的能量状态
常见问题 (FAQ)
特征值一定是实数吗?
不一定。实矩阵的特征值可能是实数或共轭复数对。只有对称矩阵的特征值一定是实数。
矩阵的特征值数量与阶数有什么关系?
根据代数基本定理，一个 n 阶矩阵共有 n 个特征值（包括重根和复根）。
什么是特征向量?
特征向量是与特征值对应的非零向量，满足矩阵与向量的乘积等于特征值与向量的乘积，即 A v = λ v。