特征值简介
特征值（Eigenvalue）是线性代数中的核心概念，广泛应用于数学、物理、工程、计算机科学等领域。它描述了线性变换对向量长度和方向的影响。
对于一个方阵 A，如果存在一个非零向量 v 和一个标量 λ，使得 Av = λv，则 λ 称为矩阵 A 的特征值，v 称为对应于 λ 的特征向量。
特征值定义
设 A 是一个 n×n 的方阵，λ 是一个复数。如果存在一个非零 n 维向量 v，使得：
Av = λv
则称 λ 为 A 的一个特征值（Eigenvalue），v 为 A 对应于 λ 的一个特征向量（Eigenvector）。
计算方法
特征值的计算基于特征方程。将定义式改写为：
|A - λI| = 0
其中 |·| 表示行列式，I 是 n×n 的单位矩阵。展开这个行列式得到一个关于 λ 的 n 次多项式，称为特征多项式。特征方程的根就是矩阵 A 的特征值。
应用领域
特征值在各个领域都有广泛的应用：
- ✓ 线性代数：矩阵对角化、相似变换。
- ✓ 物理：量子力学、振动系统、流体力学。
- ✓ 工程：结构力学、控制系统、信号处理。
- ✓ 计算机科学：机器学习、图像处理、图论。
常见问题 (FAQ)
为什么只能计算2-4阶矩阵?
对于大于4阶的矩阵，特征方程的求解变得非常复杂，通常需要数值方法。本工具主要用于教学和学习目的，支持2-4阶矩阵的精确计算。
特征值可以是复数吗?
是的。对于实矩阵，特征值可以是实数或共轭复数对。例如，旋转矩阵的特征值就是复数。